中学一年生数学【空間図形】

こんにちは!

中学数学、高校数学を担当していますNです。

早いものでもう2月も終わり、、花粉も飛び始めたり、受験もいよいよ架橋、新入生を意識し始める季節になりましたね。
そして、一年最後の学期末試験真っ只中!

今日は、中学一年生のある意味やまでもある空間図形についてお話をします。
空間図形で、表面積、体積を出せと言われて、公式オンパレードでごちゃ混ぜになってしまいがちですが、一息いれつつ落ち着いて考えましょう‼️

 

体積は、物体の容量。
表面積は、図形表面の面積の合計値です。
まず展開図で計算すべき底面と側面を書き、分かっている数字を書き込んでいきましょう!
【◯◯柱】
体積: 底面が高さ分伸びた形なので、『底面積×高さ』
表面積: 全ての表面の面積なので、『底面積が上下二つ+側面積』
側面は柱なので長方形
長方形の縦 = 柱の高さ、横 = 底面の周囲の長さとなります。

 

【◯◯錐】
体積: 底面がトンガリ帽子型に伸びた形なので、『底面積×高さ÷3』
柱と違い帽子状に一点に向かい伸びた形なので『÷3』を忘れずに!
表面積: 『底面積は一つ+側面積』
側面は底面の辺の数だけ三角形があります。(円錐は除く)

 

【円、球 】
ここからが問題!円が絡むと途端に苦手意識が出てしまう方が多いですよね。
まず絶対覚えておかなければいけないのは、円の公式❗️

『面積 = 半径 × 半径 × π』
『円周 = 直径(2× 半径) × π』
『球の表面積 = 4 π (半径二乗)』← しんぱい(4π)あるある(半径r ×半径r)
『球の体積 = 4 / 3 π (半径三乗)』← 身の上に(/ 3)しんぱい(4π)あるさ(半径r 三乗)

 

【円錐、扇形】
円錐は、底面が円、側面は扇形の立体です。
扇形が出てきて焦るかもしれませんが、扇形は円の一部!
中心角をXとすると、円の( X / 360 )の部分なだけ!
扇形を円の一部と考えたときの円の半径に当たる部分を、扇形の母線と言います。

 

『扇形の面積 = 円の面積 × ( X / 360 )= 母線(半径)× 母線(半径)× π × ( X / 360 )』
『扇形の孤の長さ = 円の円周 × ( X / 360 )= 2× 母線(半径)× π × ( X / 360 )』

 

側面(扇形)の中心角がわからない場合も、落ち着いて出してあげましょう。
展開図より、扇形の孤の長さ = 底面の円周 がわかりますよね。
ですので、『 2 × 扇形の母線(半径)× π × ( X / 360 )= 2 × 底面の半径 × π 』
つまり、整理すると以下で算出できます。

 

『扇形の中心角 = 360 × 底面積の半径 ÷ 扇形の母線 』

 

ここで裏技!円錐にて扇形の母線(扇形の半径に当たる部分)、底面積の半径が分かれば以下で算出できます!

 

『側面積(扇形の面積) = 扇形の母線 × 底面積の半径 × π 』
どうでしょうか、少し頭整理出来ましたか?
わからない時は、まず図を書く!分かっていることを整理する!そこから始めましょう!

 

身の回りには多くの空間図形、三次元の物体が溢れています。
こんな計算が役になんてたつのかと思うこともあるかもしれませんが、
服やバック、帽子やお菓子の箱、ペットボトルなんかも展開図を組み合わせて作り、そこに入る容量を計算してデザインもされてますよね!
その原理についてしっかり理解することは、無駄ではないはずです。
楽しんで身につけて行きましょう!

 

テストも一年もあと少し!
ちゃんと一つづつ落ち着いて考えられたら、解けてたから大丈夫!
笑顔の報告、楽しみに待ってます!!

 

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